Matemática básica Ejemplos

$\frac{6 π}{π^{2} - 1} - \frac{3}{π^{2} - π - 2}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{6 π}{π^{2} - 1^{2}} - \frac{3}{π^{2} - π - 2}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = π$ y $b = 1$ .

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} - \frac{3}{π^{2} - π - 2}$

Paso 1.2

Factoriza $π^{2} - π - 2$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{π - 2}{π - 2}$ .

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} \cdot \frac{π - 2}{π - 2} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{π - 1}{π - 1}$ .

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} \cdot \frac{π - 2}{π - 2} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)} \cdot \frac{π - 1}{π - 1}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(π + 1) (π - 1) (π - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)}$ por $\frac{π - 2}{π - 2}$ .

$\frac{6 π (π - 2)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)} \cdot \frac{π - 1}{π - 1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$ por $\frac{π - 1}{π - 1}$ .

$\frac{6 π (π - 2)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)} - \frac{3 (π - 1)}{(π - 2) (π + 1) (π - 1)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(π - 2) (π + 1) (π - 1)$ .

$\frac{6 π (π - 2)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)} - \frac{3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 π (π - 2) - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 π π + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Paso 6.2

Multiplica $6 π π$ .

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Paso 6.2.1

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 (π^{1} π) + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Paso 6.2.2

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 (π^{1} π^{1}) + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Paso 6.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 π^{1 + 1} + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Paso 6.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6 π^{2} + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Paso 6.3

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$\frac{6 π^{2} - 12 π - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 π^{2} - 12 π - 3 π - 3 \cdot - 1}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Paso 6.5

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{6 π^{2} - 12 π - 3 π + 3}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Paso 6.6

Resta $3 π$ de $- 12 π$ .

$\frac{6 π^{2} - 15 π + 3}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{6 π^{2} - 15 π + 3}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Forma decimal:

$1.49066945 \dots$